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第3题

设 ABCABC 为一个三角形。设从顶点 AA 引出的中线和角平分线与边 BCBC 的交点分别为 MM 和 NN。过点 NN 作 NANA 的垂线，分别交 MAMA 和 BABA 于点 QQ 和 PP；过点 PP 作 BABA 的垂线，交 ANAN 的延长线于点 OO。证明：QOQO 垂直于 BCBC。
第 1/3 步：利用西姆松线将弧中点K投影到三边上
上一步下一步
通俗地说

弧 BCBC 的中点 KK 将角平分线 ANAN 与 BCBC 的中点 MM 联系起来，而西姆松定理又把 MM 与 ABAB、ACAC 上的投影点 RR、SS 直接连成一线。

K=AN∩(ABC),KB=KC,MB=MC  ⟹  KM⊥BCK = AN \cap (ABC), \qquad KB = KC, \quad MB = MC \implies KM \perp BC
详细分析

设角平分线 ANAN 与 △ABC\triangle ABC 的外接圆再次交于点 KK，该点是不含点 AA 的弧 BCBC 的中点。由于 KB=KCKB = KC 且 MM 是 BCBC 的中点（MB=MCMB = MC），直线 KMKM 是 BCBC 的垂直平分线，故 MM 是 KK 在 BCBC 上的正交投影。设 RR 和 SS 分别为 KK 在直线 ABAB 和 ACAC 上的正交投影；由西姆松定理可知，R,M,SR, M, S 三点共线于点 KK 关于 △ABC\triangle ABC 的西姆松线上。