MathLabs

第3题

设 ABCABC 为一个三角形。设从顶点 AA 引出的中线和角平分线与边 BCBC 的交点分别为 MM 和 NN。过点 NN 作 NANA 的垂线，分别交 MAMA 和 BABA 于点 QQ 和 PP；过点 PP 作 BABA 的垂线，交 ANAN 的延长线于点 OO。证明：QOQO 垂直于 BCBC。
第 3/3 步：应用以A为中心的位似变换将OQ映射为KM
上一步下一步
通俗地说

构型 (O,P,Q)(O, P, Q) 只是从中心 AA 出发对 (K,R,M)(K, R, M) 进行缩放得到的副本；沿角平分线移动点 NN 只是对 △OPQ\triangle OPQ 作位似缩放，而不会改变 OQOQ 的方向。

HA:O↦K  ⟹  P↦R  ⟹  Q↦M  ⟹  OQ∥KM⊥BC\mathcal{H}_A: O \mapsto K \implies P \mapsto R \implies Q \mapsto M \implies OQ \parallel KM \perp BC
详细分析

考虑以 AA 为中心、沿直线 ANAN 将点 OO 映为点 KK 的位似变换 HA\mathcal{H}_A。因为 OP⊥ABOP \perp AB 且 KR⊥ABKR \perp AB，直线 OPOP 与 KRKR 平行，所以 HA\mathcal{H}_A 将直线 OPOP 映为直线 KRKR，从而将 P=OP∩ABP = OP \cap AB 映为 R=KR∩ABR = KR \cap AB。接着，由于 PQ∥RSPQ \parallel RS 且 M∈RSM \in RS，HA\mathcal{H}_A 将直线 PQPQ 映为直线 RSRS，进而将 Q=PQ∩AMQ = PQ \cap AM 映为 M=RS∩AMM = RS \cap AM。由于 HA(O)=K\mathcal{H}_A(O) = K 且 HA(Q)=M\mathcal{H}_A(Q) = M，直线 OQOQ 平行于直线 KMKM。再由 KM⊥BCKM \perp BC 即得 QO⊥BCQO \perp BC。