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第3题

设 ABCABC 为一个三角形。设从顶点 AA 引出的中线和角平分线与边 BCBC 的交点分别为 MM 和 NN。过点 NN 作 NANA 的垂线，分别交 MAMA 和 BABA 于点 QQ 和 PP；过点 PP 作 BABA 的垂线，交 ANAN 的延长线于点 OO。证明：QOQO 垂直于 BCBC。
第 3/3 步：计算OQ与BC的斜率之积以验证垂直
上一步下一步
通俗地说

注意到 nn 在斜率 kOQk_{OQ} 中完全约去了：垂直关系 QO⊥BCQO \perp BC 对角平分线上的任意一点 NN 都成立，而不局限于与 BCBC 的交点。

kOQ=m(b−c)nb+c−0n−n(m2+1)=−b−c(b+c)m  ⟹  kOQ⋅kBC=−b−c(b+c)m⋅m(b+c)b−c=−1k_{OQ} = \frac{\frac{m(b-c)n}{b+c} - 0}{n - n(m^2+1)} = -\frac{b-c}{(b+c)m} \implies k_{OQ} \cdot k_{BC} = -\frac{b-c}{(b+c)m} \cdot \frac{m(b+c)}{b-c} = -1
详细分析

利用 Q=(n,m(b−c)nb+c)Q = \left(n, \frac{m(b-c)n}{b+c}\right) 与 O=(n(m2+1),0)O = (n(m^2 + 1), 0)，可得直线 OQOQ 的斜率为 kOQ=m(b−c)nb+c−nm2=−b−c(b+c)mk_{OQ} = \frac{\frac{m(b-c)n}{b+c}}{-n m^2} = -\frac{b-c}{(b+c)m}，其中 nn 完全约去。将其与边 BCBC 的斜率 kBC=m(b+c)b−ck_{BC} = \frac{m(b+c)}{b-c} 相乘，得到 kOQ⋅kBC=−1k_{OQ} \cdot k_{BC} = -1，从而证得 QO⊥BCQO \perp BC。