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第3题

给定直角三角形 ABCABC,斜边 BCBC 长为 aa,将其分成 nn 个相等部分,其中 nn 为奇数。中间部分在 AA 处所对的角为 α\alpha。若 AA 到 BCBC 的垂距为 hh,证明 tan⁡α=4nha(n2−1)\tan\alpha=\dfrac{4nh}{a(n^2-1)}。
第 1/5 步：设中点与中间部分的端点
上一步下一步
通俗地说

把所选部分以 MM 为中心,即使高的垂足不在 MM,两个端点仍保持对称。

M is the midpoint of BC,P=M−a2n,Q=M+a2nM\text{ is the midpoint of }BC,\quad P=M-\dfrac{a}{2n},\quad Q=M+\dfrac{a}{2n}
详细分析

由于 nn 为奇数,有一个等分部分以 BCBC 的中点 MM 为中心。其端点 P,QP,Q 在 BCBC 上,有向距离为 MP=−a/(2n)MP=-a/(2n)、MQ=a/(2n)MQ=a/(2n),所以 PQ=a/nPQ=a/n。