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第4题

将一个 8×88\times8 棋盘分成 pp 个互不重叠的矩形。每个矩形中的白格数等于黑格数。若第 ii 个矩形中的白格数为 aia_i,则 a1<a2<⋯<apa_1<a_2<\cdots<a_p。求可能的最大 pp,并在此 pp 下求出所有可能的数列 a1,…,apa_1,\ldots,a_p。
第 1/5 步：数白格
上一步下一步
a1+⋯+ap=32,32≥1+2+⋯+p=p(p+1)2a_1+\cdots+a_p=32,\qquad 32\ge1+2+\cdots+p=\frac{p(p+1)}2
详细分析

整个棋盘有 3232 个白格。第 ii 个矩形有 aia_i 个白格且这些矩形覆盖棋盘,所以 a1+⋯+ap=32a_1+\cdots+a_p=32。由严格递增和正性有 ai≥ia_i\ge i,故 32≥1+2+⋯+p=p(p+1)/232\ge1+2+\cdots+p=p(p+1)/2。