第1题

设

d

是不等于

2

、

5

、

13

的任意正整数。证明可以在集合

\{2, 5, 13, d\}

中找到两个不同的元素

a

和

b

，使得

ab - 1

不是完全平方数。

第 4/6 步：对剩下的情形按模 16 进一步细分

d\equiv1\pmod4\ \Longrightarrow\ d\equiv1,5,9,13\pmod{16}

详细分析

只剩下 $d\equiv1\pmod4$ 的情形，其模 $16$ 的剩余为 $1,5,9,13$ 。模 $16$ 下完全平方数落在 $\{0,1,4,9\}$ 中，因此在这四种子情形下分别检验 $13d-1$ 与 $5d-1$ 。