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第1题

设 dd 是不等于 22、55、1313 的任意正整数。证明可以在集合 {2,5,13,d}\{2, 5, 13, d\} 中找到两个不同的元素 aa 和 bb，使得 ab−1ab - 1 不是完全平方数。
第 1/6 步：设三者均为完全平方数
上一步下一步
通俗地说

如果没有一对满足条件，那么三个数将同时是完全平方数；这会使得关于 dd 的奇偶性与整除性约束相互冲突。

p2=2d−1,q2=5d−1,r2=13d−1p^2=2d-1,\quad q^2=5d-1,\quad r^2=13d-1
详细分析

反设存在整数 p,q,rp,q,r 使得 p2=2d−1p^2=2d-1，q2=5d−1q^2=5d-1，r2=13d−1r^2=13d-1。下面推出矛盾，从而说明三者中至少有一个不能是完全平方数。