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第1题

设 dd 是不等于 22、55、1313 的任意正整数。证明可以在集合 {2,5,13,d}\{2, 5, 13, d\} 中找到两个不同的元素 aa 和 bb，使得 ab−1ab - 1 不是完全平方数。
第 5/6 步：情形 d≡1,13(mod16)d\equiv1,13\pmod{16}
上一步下一步
13d−1(mod16)∉{0,1,4,9}13d-1\pmod{16}\notin\{0,1,4,9\}
详细分析

直接计算可得：当 d≡1(mod16)d\equiv1\pmod{16} 时 13d−1≡12(mod16)13d-1\equiv12\pmod{16}；当 d≡13(mod16)d\equiv13\pmod{16} 时 13d−1≡8(mod16)13d-1\equiv8\pmod{16}；88 与 1212 均不在 {0,1,4,9}\{0,1,4,9\} 中。故 13d−113d-1 不是完全平方数，(a,b)=(13,d)(a,b)=(13,d) 可行。