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第1题

设 f(x)=xn+5xn−1+3f(x)=x^n+5x^{n-1}+3,其中 n>1n>1 为整数。证明 f(x)f(x) 不能表示为两个具有整数系数的非常数多项式之积。
第 2/4 步:传递被 3 整除性
通俗地说

不被 3 整除的常数系数使得抵消只能迫使 g 的下一个系数也被 3 整除。

3=b0c03=b_0c_0
详细分析

常数项为 3,所以 b0,c0b_0,c_0 中恰有一个被 3 整除;交换因子使 3∣b03|b_0 且 3∤c03\nmid c_0。xx 的系数为 0 给出 3∣b13|b_1,重复比较得到 3∣bn−23|b_{n-2}。