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国际数学奥林匹克
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1993年
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第1题
第1题
设
f
(
x
)
=
x
n
+
5
x
n
−
1
+
3
f(x)=x^n+5x^{n-1}+3
f
(
x
)
=
x
n
+
5
x
n
−
1
+
3
，其中
n
>
1
n>1
n
>
1
为整数。证明
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
不能表示为两个具有整数系数的非常数多项式之积。
系数整除性与奇偶性
Perron 判别法
第 1/3 步：写成首一形式
上一步
下一步
通俗地说
足够大的次高项系数会阻止非平凡因式分解。
f
(
x
)
=
x
n
+
5
x
n
−
1
+
0
x
n
−
2
+
⋯
+
0
x
+
3
f(x)=x^n+5x^{n-1}+0x^{n-2}+\cdots+0x+3
f
(
x
)
=
x
n
+
5
x
n
−
1
+
0
x
n
−
2
+
⋯
+
0
x
+
3
详细分析
多项式是首一的，首项下一次的系数为 5；其余非首项系数绝对值之和为 3。
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