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第1题

设 f(x)=xn+5xn−1+3f(x)=x^n+5x^{n-1}+3，其中 n>1n>1 为整数。证明 f(x)f(x) 不能表示为两个具有整数系数的非常数多项式之积。
第 3/4 步：确定因子次数
上一步下一步
通俗地说

系数 5 是关键障碍：模 3 后前面的项全为 3 的倍数，无法贡献它。

b0cn−1+⋯+bn−2c1+bn−1c0=5b_0c_{n-1}+\cdots+b_{n-2}c_1+b_{n-1}c_0=5
详细分析

将该系数方程式模 3 化，只剩 bn−1c0b_{n-1}c_0 同余于 2，因此 bn−1b_{n-1} 非零。故 gg 的次数至少为 n−1n-1；因 hh 非常数，其次数恰为 1，而 gg 的次数为 n−1n-1。