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国际数学奥林匹克 · 2000年

试题

  1. 第1题Two 圆s Γ1\Gamma_1 且 Γ2\Gamma_2 intersect 在two 点s M M 且 N N . 设 AB AB be comm上tangent 到these 圆s 在 A A 且 B B , respectively, so th在 M M lies closer 到 AB AB 译文： than N N . 设 直线 through M M parallel 到 AB AB 译文： meet Γ1\Gamma_1 aga中在 C C 且 Γ2\Gamma_2 aga中在 D D 译文：. Lines AC AC 且 BD BD meet 在 E E ; 直线s AN AN 且 CD CD meet 在 P P ; 直线s BN BN 且 CD CD meet 在 Q Q . 证明 EP=EQ EP=EQ .解法: 1
  2. 第2题设 a,b,c a,b,c be 正实数 满足 abc=1 abc=1. 证明 (a−1+1b)(b−1+1c)(c−1+1a)≤1(a-1+\frac1b)(b-1+\frac1c)(c-1+\frac1a)\le 1.解法: 1
  3. 第3题设 n≥2 n\ge2 be a 正整数. Initially there 是 n n fleas 上a horizontal 直线, 不所有在same 点. F或a positive real 数 λ\lambda , a 移动 chooses fleas 在 A A 且 B B 满足 A A 到left 的 B B , 且lets flea 在 A A jump 到 C C 到right 的 B B so th在 BC=λAB BC=\lambda AB . 确定所有 λ\lambda 使得, 对每个 点 M M 且每个initial position, a finite 数列 的移动s puts 所有fleas 到right 的 M M .解法: 1
  4. 第4题A magician has one hundred cards 数ed 11 到 100100. He puts them in到three boxes, red, white 且blue, 每个nonempty. A member selects two boxes, chooses one card 从each, 且announces their 和. Given th是和, magician identifies box 从which no card was chosen. How many assignments 的cards 到three boxes make th是always possible?解法: 1
  5. 第5题Does there exist a 正整数 n n 使得 n n 译文： has exactly 20002000 distinct 素数 因数s 且 n n 译文： divides 2n+12^n+1?解法: 1
  6. 第6题设 AH1,BH2,CH3 AH_1,BH_2,CH_3 be altitudes 的an acute 三角形 ABC ABC . The in圆 的 ABC ABC 译文： touches BC,CA,AB BC,CA,AB 在 T1,T2,T3 T_1,T_2,T_3, respectively. Reflect 直线s H1H2,H2H3,H3H1 H_1H_2,H_2H_3,H_3H_1 中直线s T1T2,T2T3,T3T1 T_1T_2,T_2T_3,T_3T_1, respectively. 证明 three reflected 直线s form a 三角形 whose 顶点 lie 上in圆.解法: 1