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第4题

正整数 NN 的真因数是指 NN 的正因数中除 NN 本身以外的因数。无穷数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots 由正整数组成，其中每一项都至少有三个真因数。对每个 n≥1n\ge1，整数 an+1a_{n+1} 等于 ana_n 的最大三个真因数之和。求 a1a_1 所有可能的值。
第 1/8 步：设置:最大的三个真因数
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σ(x):=sum of the three largest proper divisors of x,an+1=σ(an)\sigma(x):=\text{sum of the three largest proper divisors of }x,\qquad a_{n+1}=\sigma(a_n)
详细分析

设 SS 为至少有三个真因数(即共至少有四个因数)的正整数集合。对 x∈Sx\in S，xx 的最大三个真因数为 x/d1,x/d2,x/d3x/d_1,x/d_2,x/d_3，其中 d1<d2<d3d_1<d_2<d_3 是 xx 大于 11 的最小三个因数;记它们之和为 σ(x)\sigma(x)，于是递推关系为 an+1=σ(an)a_{n+1}=\sigma(a_n)。