复变函数

写 $f=u+iv$，$dz=dx+i\,dy$，围道积分就分成两个实线积分，借助格林定理，每个都可以改写成 $\gamma$ 所围区域上的二重积分。出现的两个二重积分，相差符号和因子 $i$，恰好是 $\iint (v_x - u_y)\,dA$ 和 $\iint(u_x - v_y)\,dA$，由柯西-黎曼方程 $u_x=v_y$、$u_y=-v_x$ 知它们都为零。

沿围住区域 $D \subseteq U$ 的闭围道 $\gamma = \partial D$ 写出 $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$ 与 $dz = dx + i\,dy$。展开乘积可将围道积分拆分为实部和虚部两个线积分：$\oint_\gamma f(z)\,dz = \oint_\gamma (u\,dx - v\,dy) + i \oint_\gamma (v\,dx + u\,dy)$。

由于 $u$ 和 $v$ 在 $U$ 上具有连续偏导数，对实部和虚部分别应用格林公式 $\oint_{\partial D} (P\,dx + Q\,dy) = \iint_D (Q_x - P_y)\,dx\,dy$，可得 $\oint_\gamma f(z)\,dz = \iint_D (-v_x - u_y)\,dx\,dy + i \iint_D (u_x - v_y)\,dx\,dy$。

因为 $f$ 全纯，柯西-黎曼方程 $u_x = v_y$ 与 $u_y = -v_x$ 在 $D$ 的每一点处均成立。因此在区域上恒有 $-v_x - u_y = 0$ 与 $u_x - v_y = 0$，从而得到 $\oint_\gamma f(z)\,dz = 0 + i\cdot 0 = 0$。

对 $g(z) = \dfrac{f(z)}{z-a}$ 在 $\gamma$ 与绕 $a$ 的半径为 $\varepsilon$ 的小圆之间的区域上（此处 $z=a$ 被排除，故 $g$ 全纯）应用柯西积分定理：$g$ 沿两条围道的积分必须相等。当 $\varepsilon \to 0$ 时，小圆上的积分趋于 $f(a)\cdot 2\pi i$，因为 $f$ 连续，在绕 $a$ 收缩的圆上几乎恒等于 $f(a)$。仅此一个公式就说明，全纯函数在区域内部的取值完全由边界上的取值决定。

将点 $a$ 固定在 $\gamma$ 内部，并选取充分小的 $\varepsilon > 0$ 使圆周 $C_\varepsilon = \{z : |z - a| = \varepsilon\}$ 完全位于围道内部。由于 $g(z) = \dfrac{f(z)}{z - a}$ 在外围道与小圆之间的区域上全纯，由柯西积分定理可得 $\oint_\gamma \dfrac{f(z)}{z - a}\,dz = \oint_{C_\varepsilon} \dfrac{f(z)}{z - a}\,dz$。

用 $z = a + \varepsilon e^{i\theta}$（其中 $\theta \in [0, 2\pi]$）对小圆作参数化，则 $dz = i\varepsilon e^{i\theta}\,d\theta$ 且 $\oint_{C_\varepsilon} \dfrac{1}{z - a}\,dz = \int_0^{2\pi} i\,d\theta = 2\pi i$。将分子拆分为 $f(z) = f(a) + (f(z) - f(a))$，得到 $\oint_{C_\varepsilon} \dfrac{f(z)}{z - a}\,dz = 2\pi i\,f(a) + \oint_{C_\varepsilon} \dfrac{f(z) - f(a)}{z - a}\,dz$。

利用弧长估计余项积分可得 $\left|\oint_{C_\varepsilon} \dfrac{f(z) - f(a)}{z - a}\,dz\right| \le \dfrac{\max_{C_\varepsilon}|f(z) - f(a)|}{\varepsilon}\cdot 2\pi\varepsilon = 2\pi \max_{C_\varepsilon}|f(z) - f(a)|$。由函数在中心点处的连续性，当 $\varepsilon \to 0$ 时有 $\max_{C_\varepsilon}|f(z) - f(a)| \to 0$，因此余项趋于零，从而证得 $f(a) = \dfrac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \dfrac{f(z)}{z - a}\,dz$。

柯西积分公式给出了全纯函数导数按其在大圆上大小估计的不等式：$|f'(z_0)| \le \dfrac{M}{R}$，其中 $M$ 是 $|f|$ 在以 $z_0$ 为中心、半径为 $R$ 的圆上的界。若 $f$ 是整函数且处处被 $M$ 有界，则这个估计对任意大的 $R$ 都成立；令 $R \to \infty$ 迫使每一点 $z_0$ 处都有 $f'(z_0)=0$，故 $f$ 为常数。

设 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 是有界整函数，即存在常数 $M \ge 0$ 使得对所有 $z \in \mathbb{C}$ 都有 $|f(z)| \le M$。固定任意点 $z_0 \in \mathbb{C}$ 及任意半径 $R > 0$，考虑圆周 $C_R = \{z : |z - z_0| = R\}$。

由一阶导数的柯西积分公式，$f'(z_0) = \dfrac{1}{2\pi i}\oint_{C_R} \dfrac{f(z)}{(z - z_0)^2}\,dz$。由于圆周弧长为 $2\pi R$ 且在围道上满足 $|z - z_0|^2 = R^2$，由标准积分估计可得 $|f'(z_0)| \le \dfrac{1}{2\pi}\cdot \dfrac{M}{R^2}\cdot 2\pi R = \dfrac{M}{R}$。

因为函数是整函数，该界对任意半径均成立；令 $R \to \infty$ 即迫使每一点处 $f'(z_0) = 0$，从而函数必为常数。

把 $\gamma$ 变形为 $k$ 个分别绕每个奇点 $z_j$ 的小圆，用成对抵消的细长通道连接；对 $\gamma$ 与这些小圆之间的（全纯）区域应用柯西积分定理，$\gamma$ 上的积分等于各小圆上积分之和。每个小圆上的积分恰好取出 $z_j$ 处洛朗级数系数 $c_{-1}$（即留数）的 $2\pi i$ 倍，因为 $\oint (z-z_j)^n\,dz = 0$ 对除 $n=-1$（此时它等于 $2\pi i$）以外的每个幂次都成立。

在 $\gamma$ 内部，以 $z_1, \dots, z_k$ 为圆心、$\varepsilon_j > 0$ 为半径作互不相交的正向小圆 $C_1, \dots, C_k$ 包围各孤立奇点。由于函数在外围道与这些小圆之间的多连通区域上全纯，由柯西积分定理可得 $\oint_\gamma f(z)\,dz = \sum_{j=1}^k \oint_{C_j} f(z)\,dz$。

在 $z_j$ 的去心邻域内将函数展开为洛朗级数 $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{j,n}(z - z_j)^n$，它在 $C_j$ 上一致收敛。沿小圆逐项积分得到 $\oint_{C_j} f(z)\,dz = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{j,n} \oint_{C_j} (z - z_j)^n\,dz$。

利用参数化 $z = z_j + \varepsilon_j e^{i\theta}$ 直接计算可知，对任意整数 $n \ne -1$ 都有 $\oint_{C_j} (z - z_j)^n\,dz = 0$，而 $\oint_{C_j} (z - z_j)^{-1}\,dz = 2\pi i$。因此每个小圆上仅保留留数项，即 $\oint_{C_j} f(z)\,dz = 2\pi i\,c_{j,-1} = 2\pi i \operatorname{Res}_{z=z_j} f(z)$，对所有小圆求和即得 $\oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{j=1}^k \operatorname{Res}_{z=z_j} f(z)$。