帽集问题（Cap set 问题）

确定帽集（即不包含三项等差数列、满足不存在三个互异元素 $x, y, z \in A$ 使得 $x + y + z = 0$ 的子集 $A \subseteq \mathbb{F}_3^n$）的最大规模 $r_3(\mathbb{F}_3^n)$ 是否以严格小于 $3$ 的底数呈指数增长，即是否存在常数 $c < 3$ 使得 $r_3(\mathbb{F}_3^n) \le c^n$。

2016年5月，厄尼·克鲁特、弗谢沃洛德·列夫和彼得·帕尔·帕赫引入了一项突破性的多项式方法，用于界定 $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^n$ 中的无等差数列集合。数日之内，乔丹·埃伦伯格和迪翁·海斯维特将该技术推广至 $\mathbb{F}_q^n$，证明了 $\mathbb{F}_3^n$ 中任意帽集的规模至多为 $O(c^n)$，其中 $c = 3(8^{-1/3})(1+8^{-1/3}+8^{-2/3}) / 2 \approx 2.7552 < 3$（即 $\frac{3}{8^{1/3}} \cdot \dots \approx 2.756$）。陶哲轩随后利用张量的切片秩（slice rank）对这一证明给出了简洁的对称重述。虽然这解决了关于指数级节约的定性猜想，但在目前最优下界（$\approx 2.220^n$）与 $2.7552^n$ 之间确定精确的指数底数仍是一个公开问题。