卡塔兰猜想

当整数 $x, y, a, b$ 满足 $a, b > 1$ 时，方程 $x^a - y^b = 1$ 的唯一解是 $x=3, a=2, y=2, b=3$——即 $3^2 - 2^3 = 1$，因此8和9是正整数完全幂中唯一相邻的一对。

欧仁·夏尔·卡塔兰在1844年致克雷尔杂志的一封信中提出了这一猜想，起因是他注意到在较小的数中，8和9似乎是唯一一对相邻的完全幂。进展十分缓慢：1976年，罗伯特·泰德曼运用贝克关于对数线性形式的理论证明，若除 $3^2-2^3=1$ 外还存在其他解，则指数 $a$ 与 $b$ 都必须被一个明确的（天文数字般巨大的）常数所界定，从而把问题归约为一个有限但计算上完全不可行的搜索。普雷达·米哈伊列斯库在2002年找到了最终的纯代数论证，利用分圆域与维费里希对的性质证明不存在其他解，而无需依赖泰德曼那个巨大的数值上界；该结果现在称为米哈伊列斯库定理。