解法：米哈伊列斯库利用分圆域给出的卡塔兰猜想证明(2002年)

卡塔兰1844年投给克雷尔杂志的短文猜想:方程 $x^u-y^v=1$ 在整数 $x,y,u,v>1$ 中只有唯一解 $3^2-2^3=1$。该猜想经两个经典步骤化简。Victor-Amédée Lebesgue(1850)证明 $x^u-y^2=1$ 在 $u>1$ 时无解:在高斯整数环 $\mathbb{Z}[i]$ 中分解 $y^2+1=(y+i)(y-i)$,两因子之差整除 $2i$ 而 $y$ 必为偶数,故两因子互素,各自必为单位意义下的 $u$ 次幂,比较虚部即得递降矛盾。Ko Chao(1965)解决了镜像方程 $x^2-y^v=1$——其唯一解即 $3^2-2^3=1$——所用同余论证把它归结为 Lebesgue 与 Nagell 已处理的情形。

指数2的两种情形排除之后,整个猜想等价于一个单独的命题:$x^p-y^q=1$ 在非零整数 $x,y$ 与奇素数 $p,q$ 中无解(Bilu 2004, §1)。这个化简后的方程带有一种贯穿证明始终的精确对称性:若 $(x,y,p,q)$ 是解,则 $(-y,-x,q,p)$ 也是解,因为对奇数 $p,q$,$(-y)^q-(-x)^p=1$ 展开即为 $x^p-y^q=1$。

这种对称性并非装饰——它被反复使用。凡对有序对 $(p,q)$ 证明的整除性、同余式或排除结论,都可免费用于 $(q,p)$:第1步的 Cassels 关系、第3步的两个 Wieferich 同余式、第4步的排除条件 $p\not\equiv1\pmod q$ 都成镜像对出现,每条只证一次却用两次。Mihăilescu 的论证(2002年4月宣布,以《Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture》发表于 J. reine angew. Math. 572 (2004),Bilu 在 Séminaire Bourbaki 2002–03, Astérisque 294 中作了综述)完全针对这个化简后的对称方程。