可尺规作图的正多边形（高斯-万策尔定理）

确定对于哪些整数 $n \ge 3$，仅使用理想圆规和无刻度直尺即可在有限步内作出正 $n$ 边形。

卡尔·弗里德里希·高斯于1796年3月30日发现了正 $17$ 边形的可作图性，并在其1801年出版的《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）第七章中证明：只要 $\varphi(n)$ 是 $2$ 的幂——等价地，当 $n = 2^k p_1 \cdots p_m$（其中 $p_i = 2^{2^{r_i}} + 1$ 为互不相同的费马素数）时——正 $n$ 边形即可尺规作图。高斯明确指出该条件也是必要的，而皮埃尔·洛朗·万策尔于1837年通过证明可作图性要求分圆域 $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ 的次数满足 $\varphi(n) = 2^s$，发表了必要性的完整证明。