可尺规作图的正多边形（高斯-万策尔定理）

已解决，1837年几何学代数学

问题陈述

确定对于哪些整数 $n \ge 3$ ，仅使用理想圆规和无刻度直尺即可在有限步内作出正 $n$ 边形。

卡尔·弗里德里希·高斯于1796年3月30日发现了正 $17$ 边形的可作图性，并在其1801年出版的《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）第七章中证明：只要 $\varphi(n)$ 是 $2$ 的幂——等价地，当 $n = 2^k p_1 \cdots p_m$ （其中 $p_i = 2^{2^{r_i}} + 1$ 为互不相同的费马素数）时——正 $n$ 边形即可尺规作图。高斯明确指出该条件也是必要的，而皮埃尔·洛朗·万策尔于1837年通过证明可作图性要求分圆域 $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ 的次数满足 $\varphi(n) = 2^s$ ，发表了必要性的完整证明。

提出者, 公元前300年亚历山大里亚的欧几里得解决者, 1837卡尔·弗里德里希·高斯

尽管代数判别条件 $n = 2^k p_1 \cdots p_m$ 已将可作图性完全归结为费马素数，但在已知的五个费马素数 $F_0 = 3$ 、 $F_1 = 5$ 、 $F_2 = 17$ 、 $F_3 = 257$ 和 $F_4 = 65{,}537$ 之外是否还存在其他费马素数，仍是数论中著名的未决问题；因此目前已知的可尺规作图的奇数边正多边形仅有 $2^5 - 1 = 31$ 个。若扩展作图工具以允许三等分角（如通过带刻度直尺的内接作图、圆锥曲线求交或折纸），安德鲁·M·格里森（1988年）证明了正 $n$ 边形可作图的充要条件是 $n = 2^k 3^l p_1 \cdots p_m$ ，其中每个 $p_i$ 为互不相同的形如 $2^u 3^v + 1$ 的皮尔庞特素数，这使得正 $7$ 边形、正 $9$ 边形和正 $13$ 边形均可作出。

参考文献

Carl Friedrich Gauss (1801). Disquisitiones Arithmeticae
Pierre Laurent Wantzel (1837). Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas
Andrew M. Gleason (1988). Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon · DOI:10.1080/00029890.1988.11971989

问题历史

公元前300年欧几里得《几何原本》（第四卷）给出了边数为 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 和 $15$ 的正多边形的尺规作图法，以及通过二等分角将任意可作图正多边形边数加倍的方法。亚历山大里亚的欧几里得
17963月30日，年仅19岁的卡尔·弗里德里希·高斯利用高斯周期将 $\cos(2\pi/17)$ 表为嵌套平方根，证明了正 $17$ 边形可尺规作图，取得了两千多年来该问题的首次突破。卡尔·弗里德里希·高斯
1801高斯出版《算术研究》，证明当 $n = 2^k p_1 \cdots p_m$ （ $p_i = 2^{2^{r_i}} + 1$ 为互异费马素数）时分圆方程 $x^n - 1 = 0$ 可用二次根式求解，并断言不存在其他可尺规作图的正 $n$ 边形。卡尔·弗里德里希·高斯
1837皮埃尔·洛朗·万策尔证明了高斯判别法的必要性，确立了若 $n$ 能被奇素数的平方 $p^2$ 或非费马奇素数 $p$ 整除，则正 $n$ 边形无法用尺规作出。
1894继弗里德里希·尤利乌斯·里舍洛特1832年给出正 $257$ 边形（ $F_3 = 2^{2^3} + 1$ ）的作图之后，约翰·古斯塔夫·赫尔墨斯耗时十年完成了正 $65{,}537$ 边形（ $F_4 = 2^{2^4} + 1$ ）的显式作图计算。