倍立方问题

给定边长为 $a$ 的立方体的一条棱，仅使用理想圆规和无刻度直尺，在有限步内作出体积为原立方体两倍（即 $x^3 = 2a^3$）的第二个立方体的棱长 $x = \sqrt[3]{2}\,a$。

1837年由皮埃尔·洛朗·万策尔证明其不可能性。取 $a = 1$，倍立方问题要求作出多项式 $x^3 - 2 = 0$ 的实根 $x = \sqrt[3]{2}$。由针对素数 $p = 2$ 的爱森斯坦判别法（或有理根检验）可知，$x^3 - 2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，因此域扩张 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]$ 的次数为 $3$。万策尔证明了任何可用无刻度直尺与圆规作出的长度都位于次数为 $2^k$ 的 $\mathbb{Q}$ 的累次二次扩张中；由于 $3$ 不整除 $2^k$，故 $\sqrt[3]{2}$ 不可尺规作图。