希尔伯特第七问题

已解决，1934年算术与数论希尔伯特 #7

问题陈述

若 $\alpha$ 是满足 $\alpha \ne 0, 1$ 的代数数, $\beta$ 是无理代数数,幂 $\alpha^\beta = \exp(\beta \log \alpha)$ 的每一个取值是否必然是超越数?等价地,若非零代数数 $\alpha_1, \alpha_2$ 的对数之比为无理数 $\log \alpha_1 / \log \alpha_2 \notin \mathbb{Q}$ ,该比值是否必定为超越数?

1934年由亚历山大·格尔丰德与特奥多尔·施奈德在数月之内各自独立解决(格尔丰德-施奈德定理)。两人的证明均采用反证法:假设 $\alpha^\beta$ 是代数数,利用西格尔引理构造一个在格点上高阶消失的整系数非零辅助函数(在格尔丰德的版本中是 $\exp((j + k\beta)z)$ 的线性组合),随后将由最大模原理得到的解析上界与非零代数整数 $\gamma$ 的代数下界 $|\mathrm{Norm}(\gamma)| \ge 1$ 相对比,从而导出矛盾。

提出者, 1900大卫·希尔伯特

1966年,阿兰·贝克将断言两个对数在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上线性无关的格尔丰德-施奈德定理推广到任意多个代数数对数的线性型 $\beta_1 \log \alpha_1 + \dots + \beta_n \log \alpha_n$ 。贝克的定量下界使他荣获1970年菲尔兹奖,给出了图埃方程、莫德尔方程和 $S$ -单位方程解的有效界,并为米哈伊列斯库2002年证明卡塔兰猜想提供了关键工具。林德曼-魏尔斯特拉斯定理与贝克定理都可以从沙努埃尔猜想导出——这一宏大的未解决问题断言,对任意在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关的 $z_1, \dots, z_n \in \mathbb{C}$ ,域 $\mathbb{Q}(z_1, \dots, z_n, e^{z_1}, \dots, e^{z_n})$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的超越次数至少为 $n$ 。

参考文献

David Hilbert (1900). Mathematische Probleme
Aleksandr O. Gelfond (1934). Sur le septième problème de Hilbert
Theodor Schneider (1934). Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen I. Transzendenz von Potenzen · DOI:10.1515/crll.1935.172.65
Alan Baker (1975). Transcendental Number Theory

问题历史

1882费迪南德·冯·林德曼证明了对任意非零代数数 $\alpha$ , $e^\alpha$ 都是超越数,特别是通过 $e^{i\pi} = -1$ 确立了 $\pi$ 的超越性。费迪南德·冯·林德曼
1900大卫·希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出第七问题,将 $2^{\sqrt{2}}$ 与 $e^\pi = (-1)^{-i}$ 列为代表性例子;他在演讲中曾表示,自己预计会在看到这个问题获解之前先看到黎曼猜想被解决。大卫·希尔伯特
1929亚历山大·格尔丰德证明了 $\beta = i\sqrt{d}$ 为虚二次无理数的情形,直接解决了 $e^\pi = (-1)^{-i}$ 的超越性。
1930罗季昂·库兹明将格尔丰德的方法推广到实二次无理数 $\beta = \sqrt{d}$ ,证明了 $2^{\sqrt{2}}$ 是超越数。
1934亚历山大·格尔丰德与特奥多尔·施奈德各自独立证明了任意代数数 $\alpha \ne 0, 1$ 和任意无理代数数 $\beta$ 下的完整定理。
1966阿兰·贝克将格尔丰德-施奈德定理推广到任意多个代数数对数的线性型,并给出有效下界,从而为丢番图方程提供了显式界。