希尔伯特第七问题

若 $\alpha$ 是满足 $\alpha \ne 0, 1$ 的代数数,$\beta$ 是无理代数数,幂 $\alpha^\beta = \exp(\beta \log \alpha)$ 的每一个取值是否必然是超越数?等价地,若非零代数数 $\alpha_1, \alpha_2$ 的对数之比为无理数 $\log \alpha_1 / \log \alpha_2 \notin \mathbb{Q}$,该比值是否必定为超越数?

1934年由亚历山大·格尔丰德与特奥多尔·施奈德在数月之内各自独立解决(格尔丰德-施奈德定理)。两人的证明均采用反证法:假设 $\alpha^\beta$ 是代数数,利用西格尔引理构造一个在格点上高阶消失的整系数非零辅助函数(在格尔丰德的版本中是 $\exp((j + k\beta)z)$ 的线性组合),随后将由最大模原理得到的解析上界与非零代数整数 $\gamma$ 的代数下界 $|\mathrm{Norm}(\gamma)| \ge 1$ 相对比,从而导出矛盾。