解法：塔克利用区间算术给出的严格计算机辅助证明(1999年)
通俗地说
现在三项各自独立的工作衔接到了一起。标准形估计精确处理了原点附近唯一的危险点。经逐个矩形验证的前向不变陷阱区域,表明吸引子是一个真正有界的对象,而不是数值幻觉或逃向无穷远。扩张锥场表明该区域内部的运动确实是不稳定的,而不是暗中伪装成一个周期轨道。
古根海默与威廉姆斯早在1979年就已证明,任何具有恰好这种性质组合的系统都拥有一个稳健的混沌吸引子。塔克的成就在于第一次以完全的严格性证明:1963年洛伦兹实际使用的那些参数下、真实的洛伦兹方程,确实具有这种组合——从而把一个二十年前的条件性定理,变成了关于这个人人一直在模拟的系统的一条无条件事实。
详细分析
古根海默–威廉姆斯几何洛伦兹模型对一个流恰好要求三个要素:(a)一个鞍型平衡点,带有满足某些特征值不等式的线性化标准形(在第3步中经解析验证);(b)一个良定义的、前向不变的庞加莱回归映射到某个截面,其定义域按鞍点的稳定流形被恰当地分层(在第5步中经严格的矩形计算验证);以及(c)该回归映射导数上一个不变的、一致扩张的锥场,编码了奇异双曲性(在第6步中验证)。
在塔克的计算中,这三个要素分别针对 处真实的洛伦兹方程被严格且独立地建立起来。古根海默与威廉姆斯1979年的定理(及其推广)指出:任何满足这三个条件的系统都拥有一个稳健的奇异双曲吸引子:稳健是指该吸引子在向量场的小扰动下(特别是在经典值附近对 的微小改变下)依然存在;奇异双曲则是在 Morales、Pacifico 与 Pujals 精确的技术意义下,将一致双曲性推广到吸引子上含有平衡点的流。
由于塔克针对真正的洛伦兹方程(而非某个理想化的近似模型)无条件地验证了全部三个假设成立,古根海默–威廉姆斯的结论可以直接应用:经典的洛伦兹系统确实拥有一个具有正拓扑熵的稳健混沌吸引子。