五次方程不可解性
已解决，1824年代数学
问题陈述
对于五次（或更高次）多项式方程，不存在仅用系数的加、减、乘、除与 次方根（根式）构造出的通用求根公式——这与二次、三次、四次方程都存在求根公式形成鲜明对比。
保罗·鲁菲尼于1799年（1813年扩充）发表了一个证明，声称一般五次方程不存在根式公式，但其论证存在重大缺口。第一个完整而严谨的证明——阿贝尔–鲁菲尼定理——归功于尼尔斯·亨利克·阿贝尔，他于1824年自费出版，并于1826年在克雷尔杂志上给出更完整的版本。几年后，埃瓦里斯特·伽罗瓦更进一步：他为每个多项式方程赋予一个由其根的置换构成的群（伽罗瓦群），并证明该方程可用根式求解当且仅当该群是可解群。这不仅解释了为何没有一个公式能适用于所有五次方程，还精确指出了任意次数的具体方程哪些可以、哪些不能用根式求解。
伽罗瓦理论表明，对称群 （ 个根的所有置换）在 时可解，但在 时不可解，这正是求根公式恰好从五次开始失效的深层原因。一些特殊的五次方程——例如 ，或伽罗瓦群本身可解的方程——仍可用根式求解。1858年，夏尔·埃尔米特指出，如果在根式之外再允许使用椭圆（模）函数，一般五次方程就可以求解，从而给出了超出纯代数工具范围的完整公式；这一思路进一步推广为利用超几何函数和θ函数求解更高次的方程。
参考文献
- Niels Henrik Abel (1824). Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré · DOI:10.1017/cbo9781139245807.004
- Évariste Galois (1846). Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux · DOI:10.4000/bibnum.616
- Ian Stewart (2015). Galois Theory · DOI:10.1201/b18187