五次方程不可解性

对于五次（或更高次）多项式方程，不存在仅用系数的加、减、乘、除与 $n$ 次方根（根式）构造出的通用求根公式——这与二次、三次、四次方程都存在求根公式形成鲜明对比。

保罗·鲁菲尼于1799年（1813年扩充）发表了一个证明，声称一般五次方程不存在根式公式，但其论证存在重大缺口。第一个完整而严谨的证明——阿贝尔–鲁菲尼定理——归功于尼尔斯·亨利克·阿贝尔，他于1824年自费出版，并于1826年在克雷尔杂志上给出更完整的版本。几年后，埃瓦里斯特·伽罗瓦更进一步：他为每个多项式方程赋予一个由其根的置换构成的群（伽罗瓦群），并证明该方程可用根式求解当且仅当该群是可解群。这不仅解释了为何没有一个公式能适用于所有五次方程，还精确指出了任意次数的具体方程哪些可以、哪些不能用根式求解。