解法：欧拉的度数论证(1736年)

第 6/6 步：哥尼斯堡有四个奇数度顶点,故不存在这样的路线

通俗地说

把哥尼斯堡自己的桥数代入刚证明的规则:检查它的四块陆地中有多少块的桥数是奇数,再把这个个数与唯一允许的值 $0$ 或 $2$ 相比较。

\#\{v \in V : \deg(v) \bmod 2 = 1\} = 4 \notin \{0, 2\}

详细分析

哥尼斯堡图的四个顶点 $A, B, C, D$ 都是奇数度( $5, 3, 3, 3$ 都是奇数),所以恰好有 $4$ 个奇数度顶点——既不是 $0$ 也不是 $2$ 。

根据上一步的准则,这意味着无论从哪里出发、到哪里结束,都不可能恰好走过哥尼斯堡七座桥中的每一座一次。欧拉1736年这篇论文正是用这种计数论证、而不是穷举所有路线,给出了否定的答案,通常被认为是图论的奠基性论证。