布劳威尔不动点定理

反证法：假设 $f$ 没有不动点。对每个 $x \in D^n$，作从 $f(x)$ 出发经过 $x$ 的射线，设 $r(x)$ 为该射线与边界球面 $S^{n-1}$ 的交点。这样得到的 $r$ 是一个连续映射 $D^n \to S^{n-1}$，且在边界上是恒等映射——即球体到其边界球面的一个收缩（retraction）。代数拓扑（边界球面不是球体的收缩核这一事实，可用同调证明，当 $n=1$ 时也可直接用介值定理证明）表明这样的收缩不存在，由此得到矛盾。