介值定理

不失一般性，设 $f(a)\le y_0\le f(b)$。令 $c=\sup\{x\in[a,b]: f(x)\le y_0\}$；该集合非空（含 $a$）且有界，故由 $\mathbb{R}$ 的完备性 $c$ 存在。$f$ 在 $c$ 处的连续性迫使 $f(c)\le y_0$（作为满足 $f\le y_0$ 的点列的极限）且 $f(c)\ge y_0$（否则 $c$ 右侧附近的点仍满足 $f\le y_0$，与 $c$ 是上确界矛盾），故 $f(c)=y_0$。