柯西积分定理

柯西1825年的原始方法假设 $f'$ 连续，将微分写为 $f(z)\,dz = (u\,dx - v\,dy) + i(v\,dx + u\,dy)$，再应用格林公式，由柯西–黎曼方程 $\partial u/\partial x = \partial v/\partial y$ 与 $\partial u/\partial y = -\partial v/\partial x$ 使二重积分化为零。1900年，爱德华·古尔萨去掉了 $f'$ 连续的假设：首先证明沿任意三角形 $T \subset U$ 的积分为零，方法是将 $T$ 四等分为四个子三角形，不断选取积分模最大的一个，并在收缩交点 $z_0$ 处利用局部线性近似 $f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + o(|z - z_0|)$，证明原积分受周长平方的任意小倍数控制。由三角形情形可在星形区域上构造原函数，进而推广到一般单连通区域。