留数定理

命题陈述

设 $U \subset \mathbb{C}$ 是开区域，$S = \{a_1, \dots, a_m\} \subset U$ 是全纯函数 $f : U \setminus S \to \mathbb{C}$ 的有限个孤立奇点集合，$\gamma$ 是 $U \setminus S$ 内一条正向简单闭曲线，其内部包含于 $U$ 且包含 $S$。则 $\oint_{\gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{m} \operatorname{Res}(f, a_k)$，其中 $\operatorname{Res}(f, a_k) = c_{-1}$ 是 $f$ 在 $a_k$ 附近的洛朗级数展开中 $(z - a_k)^{-1}$ 项的系数。

为什么成立?

由柯西积分定理，全纯函数在各处的环量均为零，因此沿闭合环路的积分只会收集环路内部各个“穿孔” $a_k$ 的贡献。在每个穿孔附近，将 $f(z)$ 展开为洛朗级数 $\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - a_k)^n$，可以看到所有 $n \ne -1$ 的幂项 $(z - a_k)^n$ 都有单值原函数 $(z - a_k)^{n+1}/(n+1)$，沿闭路积分为零。唯独 $(z - a_k)^{-1}$ 这一项——其原函数是多值对数函数 $\log(z - a_k)$——不会抵消，每绕 $a_k$ 一周便留下 $2\pi i\,c_{-1}$ 的“留数（残余）”。这使得连续的线积分化归为少数孤立点处的纯代数计算。

用到此定理的主题

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分步证明

该定理暂无分步证明。