中心极限定理

令 $Y_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}$，则 $\mathbb{E}[Y_i] = 0$，$\operatorname{Var}(Y_i) = 1$，且 $Z_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n Y_i$。设 $\varphi_Y(t) = \mathbb{E}[e^{itY_1}]$ 为 $Y_1$ 的特征函数。由于 $\mathbb{E}[Y_1^2] = 1 < \infty$，在 $t = 0$ 处作二阶泰勒展开可得 $\varphi_Y(t) = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$（当 $t \to 0$ 时）。由独立性，$Z_n$ 的特征函数为 $\varphi_{Z_n}(t) = \left[\varphi_Y\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right]^n = \left(1 - \frac{t^2}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n \to e^{-t^2/2}$（当 $n \to \infty$ 时，对每个固定的 $t \in \mathbb{R}$）。因为 $e^{-t^2/2}$ 是 $\mathcal{N}(0,1)$ 的特征函数，由列维连续性定理即得 $Z_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)$。