维格纳半圆律

利用矩方法计算期望迹矩 $\int x^k\,d\mu_n(x) = \frac{1}{n}\operatorname{Tr}\left(\left(\frac{W_n}{\sqrt{n}}\right)^k\right) = n^{-1 - k/2} \sum_{i_1, \dots, i_k = 1}^n X_{i_1 i_2} X_{i_2 i_3} \cdots X_{i_k i_1}$。每一项对应于 $\{1, \dots, n\}$ 上长度为 $k$ 的闭途径。由于 $\mathbb{E}[X_{ij}] = 0$，任何只经过某条边一次的闭途径其期望均为 $0$。当 $k$ 为奇数时，所有主导项在 $n \to \infty$ 的极限下均消失。当 $k = 2m$ 为偶数时，在 $n^{-1-m}$ 归一化下唯一保留下来的闭途径是在 $m + 1$ 个顶点的树上恰好经过 $m$ 条边各两次的途径；此类标准途径的数目等于卡特兰数 $C_m = \frac{1}{m+1}\binom{2m}{m}$。因为 $\int_{-2}^2 x^{2m} \rho_{\mathrm{sc}}(x)\,dx = C_m$ 且 $\rho_{\mathrm{sc}}$ 具有紧支集，矩的收敛性唯一决定了向 $\rho_{\mathrm{sc}}$ 的弱收敛。