欧拉示性数

去掉凸多面体的一个面，将其余表面拉平展开到平面上，就会得到一个连通平面图：其中有界区域对应多面体其余的 $F - 1$ 个面，而无界外部区域则代表那个被去掉的面。

按照柯西（1813年）的思路，将多面体投影到平面上，成为具有 $V$ 个顶点、$E$ 条边和 $F$ 个面（含外部面）的连通平面图。若图中含有圈，删去该圈上的一条边会把相邻的两个面合并为一个，使 $E$ 和 $F$ 同时减少 $1$，而 $V$ 保持不变，因此 $V - E + F$ 不变。重复这一过程直到不再有圈；最终得到的连通无圈图是一棵树，它只有 $F = 1$ 个面（即外部面）且满足 $E = V - 1$。于是 $V - E + F = V - (V - 1) + 1 = 2$。

这一定理使欧拉示性数（配合可定向性）成为闭二维流形完整的“拓扑指纹”：要想判断一个复杂的多边形粘合方案生成了什么曲面，只需计算 $V - E + F$ 并检查粘合是否反转定向即可！

将紧连通曲面 $S$ 三角剖分为有限个三角形并逐边粘合;沿其对偶图的一棵生成树将已剖分的曲面剪开,得到一个单一的多边形 $P$,它有 $2n$ 条带方向的边界棱,被两两归并成 $n$ 对被等同的棱。反复"拉合拉链"形如 $a a^{-1}$ 的相邻一对(这种折叠对曲面本身没有影响),并在两条同标号的棱被分开时沿对角线剪贴,就能把 $P$ 化为两种标准型之一:可定向的词 $a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1} \cdots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}$,对应亏格为 $g$ 的曲面 $\Sigma_g$;或者,若出现反向的一对,则得到不可定向的词 $c_1 c_1 \cdots c_k c_k$,对应 $k$ 个射影平面的连通和 $N_k$。

在可定向标准型中,多边形的全部 $4g$ 个角都被粘合到同一点,故 $V = 1$;$4g$ 条边界棱两两配对成 $E = 2g$;多边形内部仍是一个面,$F = 1$。于是 $\chi(\Sigma_g) = V - E + F = 1 - 2g + 1 = 2 - 2g$。在不可定向标准型中,$2k$ 个角同样汇合于一个顶点($V = 1$),$2k$ 条棱配对成 $E = k$,且仍有 $F = 1$,故 $\chi(N_k) = 1 - k + 1 = 2 - k$。由于 $g \mapsto 2 - 2g$ 与 $k \mapsto 2 - k$ 在非负整数上都是严格单调的,因而都是单射;所以只要知道 $S$ 是否可定向及其欧拉示性数 $\chi(S)$,就能唯一确定 $g$ 或 $k$,从而完全确定 $S$ 的同胚类型。

左端 $\int_M K\,dA$ 是纯粹的微分几何量（当你把曲面按瘪或拉伸时，它会随点而变），而右端 $2\pi\,\chi(M)$ 则是离散的拓扑整数乘以 $2\pi$。如果你把球面按出一个凹坑，正曲率区域的增加必然伴随着新的负曲率马鞍区域的出现并精确抵消，使总积分严格锁定在 $4\pi$；而在环面（$\chi = 0$）上，外侧的正曲率与内侧的负曲率总是完全抵消为 $0$。

选取闭可定向曲面 $M$ 的一个光滑测地三角剖分,含 $V$ 个顶点、$E$ 条棱和 $F$ 个三角形面 $T_1, \dots, T_F$,剖分足够细,使每个三角形都落在单个坐标卡内。对小三角形边界上的位置向量应用格林定理,得到局部高斯–博内恒等式:对每个内角为 $\alpha_{f,1}, \alpha_{f,2}, \alpha_{f,3}$、沿边界 $\partial T_f$ 测地曲率为 $\kappa_g$ 的面 $T_f$,有 $\displaystyle\iint_{T_f} K\,dA + \int_{\partial T_f} \kappa_g\,ds = (\alpha_{f,1}+\alpha_{f,2}+\alpha_{f,3}) - \pi$。

将此恒等式对全部 $F$ 个三角形求和,沿每条内部棱的测地曲率线积分恰好被计算两次——分别来自相邻的两个三角形且方向相反——因此这些边界项完全抵消,得到 $\displaystyle\iint_M K\,dA = \sum_{f=1}^F (\alpha_{f,1}+\alpha_{f,2}+\alpha_{f,3}) - F\pi$。围绕 $V$ 个顶点中每一点的角度之和为整整一周,故全部内角之和等于 $2\pi V$。又因每个三角形有 $3$ 条边,每条棱恰好属于 $2$ 个三角形,故 $3F = 2E$,即 $F\pi = (2E - 2F)\pi$。将这两个事实代入求和后的恒等式即得 $\displaystyle\iint_M K\,dA = 2\pi V - 2\pi E + 2\pi F = 2\pi(V-E+F) = 2\pi\,\chi(M)$。

这解释了为什么地球（$S^2$，$\chi = 2$）上的连续风场在任意时刻都必定至少存在一个无风中心（如总指标为 $2$ 的气旋或反气旋风眼），而环面（$T^2$，$\chi = 0$）却可以由沿经线方向流动的处处非零向量场把“毛”完全梳平！

为证明庞加莱–霍普夫指标公式 $\sum_{v(p)=0} \operatorname{ind}_p(v) = \chi(M)$,将 $v$ 替换为与之同伦的向量场,该场由 $M$ 的一个精细三角剖分上的莫尔斯函数构造而成:在 $V$ 个顶点处各放一个指标为 $+1$ 的源点,在 $E$ 条棱的中点处各放一个指标为 $-1$ 的鞍点,在 $F$ 个面的中心处各放一个指标为 $+1$ 的汇点。由于向量场限制在每个零点周围小圆盘边界上的指标是同伦不变量,而 $v$ 可以连续形变为这一标准胞腔场且不会在已计入的圆盘之外产生新的零点,故 $v$ 的指标之和等于该标准场的指标之和。

将标准指标相加得 $V(+1) + E(-1) + F(+1) = V - E + F = \chi(M)$,所以对任意闭曲面 $M$ 都有 $\sum_{v(p)=0} \operatorname{ind}_p(v) = \chi(M)$。特殊到球面情形,$\chi(S^2) = 2 \neq 0$。若 $S^2$ 上某个连续切向量场处处非零,指标公式左端就会是空和 $0$,与 $\chi(S^2) = 2$ 矛盾。因此 $S^2$ 上任何连续切向量场都必须在某点 $p \in S^2$ 处为零——毛球不可能被梳理得处处平顺而不留旋涡。