公式已证明
欧拉多面体公式
命题陈述
对任意有 个顶点、 条边、 个面的凸多面体，都有 。
为什么成立?
把多面体的表面展开到平面上（去掉一个面，把其余部分拉平），就得到一个连通的平面图；无论如何构造或化简这个图，V - E + F 都保持不变，因为在一条边上加一个顶点，或加一条边把一个面一分为二，都会使三个数中的两个同时变化 +1 和 -1。
证明思路
把多面体的棱投影到以其内部一点为中心的球面上，然后从某个面的内部把球面戳穿，展平成一个平面图。给每个非三角形的面添加对角线进行三角剖分（每条对角线增加一条边和一个面，不改变 V - E + F），再逐步去掉被两个三角形共享的外部边——这一操作要么去掉一条边和一个面，要么去掉一个顶点、两条边和一个面，两种情形下 V - E + F 都保持不变。过程结束时只剩一个三角形，此时 V - E + F = 3 - 3 + 1 = 1；把最初去掉的那个面加回来，就得到 V - E + F = 2。
用到此定理的主题
相关定理
分步证明
参考文献
- David S. Richeson (2008). Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
- Augustin-Louis Cauchy (1813). Recherches sur les polyèdres — première partie