可导必连续

设 $x\neq x_0$ 接近 $x_0$，写出 $f(x)-f(x_0) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot(x-x_0)$。当 $x\to x_0$ 时，第一个因子（由可导性的定义）趋于有限值 $f'(x_0)$，第二个因子趋于 $0$；收敛于有限极限的量与收敛于 $0$ 的量之积趋于 $0$，故 $f(x)-f(x_0)\to 0$，即 $f$ 在 $x_0$ 处连续。