导数

在 $x_0$ 处具有确定切线斜率的曲线不可能在该处出现跳跃：写出 $f(x)-f(x_0) = \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \cdot (x-x_0)$；当 $x \to x_0$ 时，第一个因子趋于有限值 $f'(x_0)$，第二个因子趋于 $0$，故乘积趋于 $0$，从而 $f(x) \to f(x_0)$。

这正是上面的论证：当两个极限都存在时，乘积的极限等于极限的乘积，而由假设 $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$ 是有限的，且 $\lim_{x\to x_0}(x-x_0)=0$。

把 $f(x)g(x)$ 想象成一个宽为 $f(x)$、高为 $g(x)$ 的矩形的面积。当 $x$ 变化时，两条边同时改变，因此矩形面积会因两个原因同时变化：宽以速率 $f'(x)$ 增长而高保持为 $g(x)$，贡献 $f'(x)g(x)$；高以速率 $g'(x)$ 增长而宽保持为 $f(x)$，贡献 $f(x)g'(x)$。一个常见的错误是猜测 $(fg)' = f'g'$，但这完全忽略了这两个独立的贡献。

写出 $\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$，在分子中插入 $-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)$，将其拆分为 $f(x+h)\cdot\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} + \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x)$。当 $h \to 0$ 时，第一个差商趋于 $g'(x)$，且由连续性 $f(x+h) \to f(x)$；第二个差商趋于 $f'(x)$；两项之和趋于 $f(x)g'(x) + f'(x)g(x)$。

变化率通过相乘复合：如果 $y=f(u)$ 变化的速度是 $u$ 的两倍（即 $f'=2$），而 $u=g(x)$ 变化的速度是 $x$ 的三倍（即 $g'=3$），那么当 $x$ 有一个微小变化时，$u$ 移动 $3$ 倍的距离，接着 $y$ 移动的距离又是 $u$ 移动距离的 $2$ 倍——因此 $y$ 移动的距离是 $x$ 的 $2 \times 3 = 6$ 倍。一个非常常见的错误是忘记内层导数 $g'(x)$：$\dfrac{d}{dx}\sin(x^2) \neq \cos(x^2)$；正确的导数是 $2x\cos(x^2)$。

由于 $f$ 在 $g(x)$ 处可导，当 $k$ 接近 $0$ 时可写 $f(g(x)+k) - f(g(x)) = [f'(g(x)) + \varepsilon(k)]\,k$，其中 $\varepsilon(k) \to 0$（当 $k \to 0$ 时）。代入 $k = g(x+h)-g(x)$，由 $g$ 的连续性知当 $h \to 0$ 时它趋于 $0$，再除以 $h$ 得 $\dfrac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} = [f'(g(x))+\varepsilon(k)]\cdot\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \to f'(g(x))\,g'(x)$。