定理已证明
乘积求导法则
命题陈述
若 f,g 在 x 处可导，则 fg 在 x 处也可导，且 (fg)′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)。
为什么成立?
一个正在变大的矩形，其面积因两个原因同时变化——宽在增大，高也在增大——而面积总的变化率恰好等于这两部分贡献之和。
证明思路
写出 hf(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)，在分子中插入 −f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)，将其拆分为 f(x+h)⋅hg(x+h)−g(x)+hf(x+h)−f(x)⋅g(x)。当 h→0 时，第一个差商趋于 g′(x)，且 f(x+h)→f(x)（由 f 在 x 处可导，从而连续）；第二个差商趋于 f′(x)；两项之和趋于 f(x)g′(x)+f′(x)g(x)。
