三角学

点 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 根据定义位于单位圆 $x^2+y^2=1$ 上——而这个方程正是勾股定理应用于直角边为 $|\cos\theta|$、$|\sin\theta|$,斜边为 $1$ 的直角三角形。这一个恒等式几乎是所有其他三角恒等式的源头。

设 $P = (\cos\theta, \sin\theta)$ 为将 $(1,0)$ 沿逆时针方向转过角度 $\theta$ 所得到的单位圆上的点。从 $P$ 向水平轴作垂线,垂足为 $Q = (\cos\theta, 0)$。线段 $OP$ 是单位圆的半径,故 $|OP|=1$。

在直角三角形 $\triangle OPQ$ 中,水平直角边 $OQ$ 的长度为 $|\cos\theta|$,竖直直角边 $QP$ 的长度为 $|\sin\theta|$。由经典勾股定理,$|OQ|^2+|QP|^2=|OP|^2$,得 $|\cos\theta|^2+|\sin\theta|^2=1^2$,对所有实数 $\theta$ 化简为 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$。

将三角形置于经过其三个顶点、半径为 $R$ 的圆内。圆周角定理表明,对边 $a$ 所张的角 $A$ 是对边 $a$ 所对圆心角的一半,由此直接得到 $a = 2R\sin A$——对每条边进行同样的论证,都得到相同的比值 $2R$。

将 $\triangle ABC$ 内接于半径为 $R$、圆心为 $O$ 的外接圆。过顶点 $B$ 作直径 $BD$ 使得 $|BD|=2R$,再连接 $D$ 与 $C$。由泰勒斯定理,因为 $BD$ 是直径,内接角 $\angle BCD=90°$。

当角 $A$ 为锐角时,$\angle A$ 与 $\angle BDC$ 都对同侧的弧 $BC$ 张角,故 $\angle BDC=A$。在直角三角形 $\triangle BCD$ 中,$\sin A=\sin(\angle BDC)=\dfrac{|BC|}{|BD|}=\dfrac{a}{2R}$,即 $\dfrac{a}{\sin A}=2R$。当 $A$ 为钝角时,$\angle BDC=180°-A$ 且 $\sin(180°-A)=\sin A$,结论相同。对边 $b$ 和 $c$ 重复同样的论证,得到 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$。

这恰好是勾股定理加上一个修正项:将角 $C$ 置于原点,一边沿 x 轴放置,于是对角顶点位于 $(a\cos C, a\sin C)$;到点 $(b,0)$ 的距离公式展开即得 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。当 $C=90°$ 时,$\cos C = 0$,公式退化为 $a^2+b^2=c^2$——余弦定理正是非直角三角形版本的勾股定理。

将顶点 $C$ 置于原点 $(0,0)$,将长度为 $a$ 的边 $CB$ 沿正水平轴放置,则 $B=(a,0)$。由于 $CA$ 的长度为 $b$,且与水平轴成角 $C$,$A$ 的坐标为 $A=(b\cos C, b\sin C)$。

边 $AB$ 的长度 $c$ 等于 $A$ 与 $B$ 之间的欧氏距离。展开并化简:$c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2 = b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C = a^2 + b^2(\cos^2 C+\sin^2 C) - 2ab\cos C$。利用勾股恒等式 $\cos^2 C+\sin^2 C=1$,即得 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。

等式两边都满足同一个微分方程 $f'(\theta) = i f(\theta)$,且 $f(0)=1$(利用 $\frac{d}{d\theta}\cos\theta=-\sin\theta$、$\frac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta$ 对右边求导即可验证),因此根据解的唯一性,两边必然相等。令 $\theta=\pi$,便得到著名的特例 $e^{i\pi}+1=0$,将五个基本常数联系在同一个方程中。

对所有实数 $\theta$,定义 $g(\theta) = e^{-i\theta}(\cos\theta + i\sin\theta)$。由乘积法则求导得 $g'(\theta) = -i e^{-i\theta}(\cos\theta+i\sin\theta) + e^{-i\theta}(-\sin\theta+i\cos\theta)$。

利用 $i^2=-1$ 展开第一项:$-i(\cos\theta+i\sin\theta) = -i\cos\theta-i^2\sin\theta = \sin\theta-i\cos\theta$。将其与 $(-\sin\theta+i\cos\theta)$ 相加得 $0$,故对所有 $\theta\in\mathbb{R}$ 有 $g'(\theta)=0$。因此 $g$ 为常数,$g(\theta)=g(0)=e^{0}(\cos 0+i\sin 0)=1$,整理得 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$。