最值定理

由波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理及连续性，$f([a,b])$ 有界：否则存在数列 $x_n$ 满足 $|f(x_n)|\to\infty$，其收敛子列 $x_{n_k}\to x^*\in[a,b]$ 由连续性得 $f(x_{n_k})\to f(x^*)$（有限值），与 $|f(x_n)|\to\infty$ 矛盾。设 $M=\sup f([a,b])$（由有界性知为有限值），取 $f(x_n)\to M$ 的 $x_n$，其收敛子列 $x_{n_k}\to x_2$ 由连续性得 $f(x_2)=M$，故上确界可达。取最小值只需对 $-f$ 施行同样论证。