连续函数

把 $f$ 想象成你沿一条小路、不做任何瞬移地从城镇 $a$（海拔 $f(a)$）连续走到城镇 $b$（海拔 $f(b)$）时记录下的海拔高度。你不可能跳过严格介于两个城镇海拔之间的任何高度——在某一时刻你必定经过了每一个中间高度。间断的函数则可以跳过某些值（想想跳跃间断点），这正是连续性成为关键假设的原因。

不失一般性，考虑一般情形 $f(a) < k < f(b)$（$f(a) > k > f(b)$ 的情形是对称的），令 $g(x) = f(x) - k$，于是 $g$ 连续，$g(a) < 0 < g(b)$，我们只需找到使 $g(c)=0$ 的 $c$。令 $a_0=a$，$b_0=b$。

对 $n=0,1,2,\dots$ 重复以下二分步骤：计算 $[a_n,b_n]$ 的中点 $m = \dfrac{a+b}{2}$。若 $g(m)=0$，停止——即找到 $c=m$。否则 $g(m)$ 有确定的符号；保留 $[a_n,b_n]$ 中两端异号的那一半，即若 $g(a_n)g(m)<0$ 则取 $[a_{n+1},b_{n+1}] = [a_n,m]$，若 $g(m)g(b_n)<0$ 则取 $[a_{n+1},b_{n+1}]=[m,b_n]$。无论哪种情形，$g(a_{n+1})$ 与 $g(b_{n+1})$ 都仍异号，即 $f(a_n)\cdot f(b_n) \le 0$（此处 $a_n,b_n$ 是对 $g$ 而言的），且区间长度减半：$b_n - a_n = \dfrac{b-a}{2^n}$。

数列 $(a_n)$ 递增且以 $b$ 为上界，$(b_n)$ 递减且以 $a$ 为下界，故两者都收敛；由于 $b_n-a_n\to 0$，它们收敛到同一极限，$a_n \to c,\quad b_n \to c$，且 $c\in[a,b]$。

由 $g$ 连续可知 $g(a_n)\to g(c)$ 且 $g(b_n)\to g(c)$。由于每一步 $g(a_n)$ 与 $g(b_n)$ 异号（或其中之一恰为 $0$），故对所有 $n$ 都有 $g(a_n)g(b_n)\le 0$；两边取极限得 $g(c)^2\le 0$，即 $f(c)^2 \le 0 \ \Rightarrow\ f(c) = 0$（应用于 $g$）。因此 $f(c) = g(c)+k = k$，且只要二分法运行至少一步而未恰好落在端点上，就有 $a_n<c<b_n$ 严格成立，从而 $c\in(a,b)$（若某一步恰好落在 $m$ 上，则该 $m$ 正是所求的 $c$）。

闭区间上的连续函数不能「逃」向无穷远（区间有界且闭，无处可逃），也不能无限接近某个最高值却始终达不到——像 $(0,1)$ 这样的开区间可以让 $f(x)=x$ 任意接近 $1$ 却永远取不到；而把端点 $x=1$ 纳入 $[0,1]$ 就堵上了这个漏洞。区间的有界性与闭性（包含端点）二者都是本质的。

**第一步——$f$ 在 $[a,b]$ 上有上界。** 反证：假设不然，则对每个 $n\in\mathbb{N}$ 都存在 $x_n\in[a,b]$ 使 $f(x_n) > n$。数列 $(x_n)$ 位于有界区间 $[a,b]$ 中，由波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理，它有一个收敛子列 $x_{n_k}\to c\in[a,b]$。由 $f$ 的连续性，$f(x_{n_k})\to f(c)$ 是一个确定的有限数，这与 $f(x_{n_k}) > n_k \to \infty$ 矛盾。故 $f$ 有上界；对 $-f$ 施行对称论证可得 $f$ 也有下界。

第二步——上确界被取得。 由第一步，$M=\sup_{[a,b]} f$ 是一个有限数。由上确界的定义，对每个 $n$ 都存在 $y_n\in[a,b]$ 使 $M-\tfrac1n < f(y_n) \le M$。再次由波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理，$(y_n)$ 有子列 $y_{n_k}\to d\in[a,b]$。当 $k\to\infty$ 时，由夹逼 $M-\tfrac{1}{n_k} < f(y_{n_k}) \le M$ 得 $f(y_{n_k})\to M$；但连续性又给出 $f(y_{n_k})\to f(d)$，故 $f(d)=M$。于是最大值 $M$ 在 $x=d$ 处取得。

第三步——最小值被取得。 把第一、二步应用于 $-f$（在 $[a,b]$ 上同样连续）：$-f$ 在某个 $c\in[a,b]$ 处取得最大值，这意味着 $f$ 恰好在同一点 $c$ 处取得最小值。这样就得到了所需的 $c$ 与 $d$。