ζ(s) 的欧拉乘积公式

命题陈述

当 $\mathrm{Re}(s)>1$ 时,黎曼 zeta 函数满足 $\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}$,乘积取遍所有素数 $p$。

为什么成立?

由于每个正整数都能唯一分解为素因子之积,对所有 $n$ 求和 $1/n^s$,等价于对每个素数独立地选择它在 $n$ 中出现的次数——这正是几何级数 $\sum_{k\ge0} p^{-ks} = (1-p^{-s})^{-1}$ 对每个素数所编码的内容。

用到此定理的主题

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分步证明

该定理暂无分步证明。