刘维尔定理（复分析）

固定任意 $z_0 \in \mathbb{C}$，在半径为 $R > 0$ 的圆周 $C_R = \{|z - z_0| = R\}$ 上对一阶导数应用柯西积分公式：$f'(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C_R} \frac{f(z)}{(z - z_0)^2}\,dz$。沿周长 $2\pi R$ 利用 $|f(z)| \le M$ 与 $|z - z_0| = R$ 估计该积分，得到柯西估计式 $|f'(z_0)| \le \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{M}{R^2} \cdot 2\pi R = \frac{M}{R}$。令 $R \to \infty$，即迫使对每个 $z_0 \in \mathbb{C}$ 都有 $f'(z_0) = 0$；由于 $\mathbb{C}$ 连通，故 $f$ 为常数。（历史上，奥古斯丁–路易·柯西于1844年发表了这一证明；约瑟夫·刘维尔在1847年的讲义中讲述了该结果，定理因此得名。）