定理已证明

庞加莱–本迪克松定理

命题陈述

设 $\dot{x} = f(x)$ 是 $C^1$ 平面向量场，并设某条正向轨道停留在一个不含不动点的紧致区域内。那么该轨道的 $\omega$ -极限集是一条周期轨道。

为什么成立?

在二维空间中，一条既不离开有界区域、又不趋向不动点的轨道，不可能永远游荡而不重复自身，因为它不能自我相交，又被平面的拓扑所困；最终它必然螺旋收敛到一条闭合回路上，并永远绕着它转。这是真正的平面现象——只有到三维及以上，轨道才有空间在不相交的情况下彼此穿插，混沌才成为可能。

证明思路

利用捕获区域的紧致性，证明 $\omega$ -极限集 $\omega$ 非空、紧致、连通且不变。若 $\omega$ 不含不动点，任取一点 $p \in \omega$ 及其轨道；利用过 $p$ 的一条横截线段（与流横切的短弧）以及若尔当曲线定理，证明过 $p$ 的轨道与该横截线段的相继交点是单调的，这与 $\omega$ 是某一条轨道自身的极限集这一事实结合，迫使该轨道必须是一条闭合（周期）曲线，且 $\omega$ 恰好等于它。

提出者

1881 年提出亨利·庞加莱

用到此定理的主题

动力系统的稳定性

参考文献

Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Robert L. Devaney (2004). Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos