素数定理

命题陈述

设 $\pi(x)$ 是不超过 $x$ 的素数个数。当 $x\to\infty$ 时 $\pi(x) \sim \dfrac{x}{\ln x}$,即 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)\ln x}{x} = 1$。

为什么成立?

在大数 $x$ 附近,随机选取的整数大约有 $1/\ln x$ 的概率是素数——素数随数字增大以对数速度变稀疏,而不是按更简单的速率(例如多项式速度)。

用到此定理的主题

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分步证明

该定理暂无分步证明。