夹逼定理

固定 $\varepsilon>0$。由 $g(x)\to L$ 及 $h(x)\to L$，存在 $\delta>0$，使当 $0<|x-a|<\delta$ 时，$|g(x)-L|<\varepsilon$ 且 $|h(x)-L|<\varepsilon$，即 $L-\varepsilon<g(x)$ 且 $h(x)<L+\varepsilon$。结合 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，对所有这样的 $x$ 都有 $L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon$，即 $|f(x)-L|<\varepsilon$。由于 $\varepsilon$ 任意，故 $f(x)\to L$。