高斯绝妙定理（Theorema Egregium）

命题陈述

光滑曲面 $S \subset \mathbb{R}^3$ 的高斯曲率 $K = \kappa_1 \kappa_2$（两主曲率 $\kappa_1$ 与 $\kappa_2$ 的乘积）是一个内蕴不变量：它仅依赖于第一基本形式 $I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2$ 及其一阶和二阶偏导数，因此在任何局部等距变换下都保持不变。

为什么成立?

单个主曲率 $\kappa_1$ 和 $\kappa_2$ 描述的是曲面在外围空间 $\mathbb{R}^3$ 中的弯曲方式——把一张平纸（$\kappa_1 = 0, \kappa_2 = 0$）不经拉伸或撕裂地卷成半径为 $r$ 的圆柱面，会使它们变为 $\kappa_1 = 1/r$ 和 $\kappa_2 = 0$。然而它们的乘积 $K = \kappa_1 \kappa_2$ 依然保持为 $0$，相反半径为 $r$ 的球面具有 $K = 1/r^2 > 0$，绝不可能在不扭曲距离的情况下展平到平面上；生活在曲面内部、只能测量长度与角度的二维居民无需看到外围空间 $\mathbb{R}^3$ 就能测出 $K$。

用到此定理的主题

相关定理

分步证明

该定理暂无分步证明。