非欧几何

与欧几里得其他四条对有限平面区域显然成立的公设不同,第五公设谈论的是无限延长的直线——这是一个关于无穷、无法靠作图验证的断言。这使它看起来更像一条有待从其他公理推出的定理,而非公理本身;这一探索占据了数学家们两千年的时间。

第一步 — 由欧几里得第五公设推导普莱费尔公理。 设直线为 $\ell$,线外一点为 $P \notin \ell$。过 $P$ 作 $\ell$ 的垂线 $t$,再过 $P$ 作垂直于 $t$ 的直线 $m$。由内错角相等知 $m$ 平行于 $\ell$。过 $P$ 的任何其他直线与 $t$ 在一侧所成的同旁内角之和满足 $\alpha + \beta < \pi$,由欧几里得第五公设知它必与 $\ell$ 相交。因此 $m$ 是过 $P$ 的唯一平行线。

第二步 — 由普莱费尔公理推导欧几里得三角形内角和定理。 对三角形 $\triangle ABC$,过顶点 $A$ 作平行于 $BC$ 的唯一平行线 $m$。利用截线 $AB$ 与 $AC$ 的内错角相等,可将 $\angle B$ 与 $\angle C$ 移至直线 $m$ 上与 $\angle A$ 相邻处,由平角 $\alpha + \beta = \pi$ 即得 $\angle A + \angle B + \angle C = \pi$。

一张纸(平坦,$K=0$)可以不经拉伸卷成圆柱,而圆柱的内蕴曲率仍是 $K=0$——生活在其上、只能在曲面内部测量的小虫会发现的是普通的欧几里得几何,尽管圆柱从外部看起来是弯曲的。但任何平坦的纸都无法不经拉伸或起皱地包裹到球面($K>0$)上——这正是为什么地球的任何平面地图都会扭曲某些东西。高斯于1827年用一个完全由第一基本形式构造出的 $K$ 公式证明了这一点,因此该公式从不涉及曲面在空间中的放置方式。

第一步 — 用基本形式写出外在公式。 $\mathbb{R}^3$ 中的光滑曲面 $\mathbf{x}(u,v)$ 具有第一基本形式 $I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2$ 和第二基本形式 $II = L\,du^2 + 2M\,du\,dv + N\,dv^2$。形状算子的行列式等于高斯曲率 $K = \kappa_1 \kappa_2 = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}$。

第二步 — 利用高斯方程消去法向量。 对高斯标架方程求导并利用三阶混合偏导数相等 $\mathbf{x}_{uuv} = \mathbf{x}_{uvu}$,可将分子 $LN - M^2$ 完全表示为度量系数 $E, F, G$ 及其一阶、二阶偏导数（克里斯托费尔符号）的函数。

第三步 — 得到正交坐标下的内蕴公式。 在正交坐标（$F = 0$）下,相容性恒等式直接化简为 $K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)$。由于该表达式仅依赖于 $E, F, G$,任何保持 $I$ 不变的局部等距变换都必然保持 $K$ 不变。

这正是引言中蚂蚁与三角形想法的精确、定量版本:角度盈余(或亏损)不仅是曲率存在的标志,它还等于所围区域内的总曲率。这是数学中最深刻的桥梁之一,将几何(曲率,一个光滑、局部、依赖度量的概念)与拓扑(欧拉示性数,一个离散、整体、纯组合的概念)联系起来——球面($\chi=2$)无论如何弯曲,总曲率都必须为正;而环面($\chi=0$)无论局部如何弯曲,平均总曲率都必须为零。

第一步 — 证明测地三角形上的局部公式。 设 $T$ 是由三条测地弧围成边界 $\partial T$ 的测地三角形。沿 $\partial T$ 取标准正交标架,每条光滑边上的测地曲率为0,而三个顶点处的外角之和为 $(\pi - \alpha) + (\pi - \beta) + (\pi - \gamma) = 3\pi - (\alpha + \beta + \gamma)$。对联络形式沿 $\partial T$ 应用格林公式可知,总旋转角 $2\pi$ 减去外角和等于曲率积分,从而得到 $\iint_T K\,dA = \alpha + \beta + \gamma - \pi$。

第二步 — 在闭曲面的测地三角剖分上求和。 将闭曲面 $M$ 剖分为 $F$ 个测地三角形、$E$ 条边和 $V$ 个顶点。由于每个三角形有3条边且每条边被2个三角形共有,故 $3F = 2E$。对所有三角形将局部公式求和,并注意到 $V$ 个顶点中每个顶点周围的内角和为 $2\pi$,可得 $\iint_M K\,dA = \sum_{i=1}^F (\alpha_i + \beta_i + \gamma_i - \pi) = 2\pi V - \pi F$。代入边面关系即得 $\iint_M K\,dA = 2\pi(V - E + F) = 2\pi \chi(M)$。