欧几里得平行公设

命题陈述

若一条直线与两条直线相交，使同旁内角之和小于两直角（$\alpha + \beta < 180^\circ$），则这两条直线无限延长后必在该侧相交。等价地（普莱费尔公理），在平面内给定一条直线 $\ell$ 和不在 $\ell$ 上的一点 $P$，过点 $P$ 至多有一条直线与 $\ell$ 平行。

为什么成立?

欧几里得的前四条公设描述的都是局部作图——连线段、延长直线、画圆以及比较直角——都可以在有限区域内检验；而第五公设却对满足 $\alpha + \beta < 180^\circ$ 的两条直线在任意远处是否终将相交作出了全局性断言。在具有负曲率的马鞍形曲面（双曲平面）上，测地线迅速发散，使得过点 $P$ 有无穷多条直线永不与 $\ell$ 相交，这说明无穷远处的平坦性是一种独立的几何选择，而非局部规则的逻辑推论。

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分步证明

该定理暂无分步证明。