Chia ba một góc bằng thước kẻ và compa

Cho một góc bất kỳ $\theta$, chỉ dùng compa lý tưởng và thước thẳng không chia vạch, hãy dựng trong hữu hạn bước hai tia chia góc $\theta$ thành ba góc bằng nhau có số đo $\theta/3$.

Được Pierre Laurent Wantzel chứng minh là bất khả thi vào năm 1837. Wantzel chỉ ra rằng một số thực $\alpha$ dựng được bằng thước kẻ và compa từ đoạn thẳng đơn vị khi và chỉ khi $\alpha$ nằm trong một tháp các mở rộng trường bậc hai của $\mathbb{Q}$, kéo theo bậc $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ của đa thức tối tiểu của nó phải là một lũy thừa của $2$. Với $\theta = 60^\circ$, đẳng thức lượng giác góc nhân ba $\cos(3\alpha) = 4\cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha)$ cùng với $\cos(60^\circ) = 1/2$ cho thấy $x = 2\cos(20^\circ)$ thỏa mãn phương trình $x^3 - 3x - 1 = 0$. Vì đa thức bậc ba này không có nghiệm hữu tỷ nên nó bất khả quy trên $\mathbb{Q}$, do đó $[\mathbb{Q}(\cos 20^\circ):\mathbb{Q}] = 3 \neq 2^k$, chứng tỏ không thể chia ba góc $60^\circ$.