Math Labs

Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1962

Đề thi

  1. Bài 1Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có biểu diễn thập phân tận cùng bằng 66 và khi chuyển chữ số cuối này lên đầu thì được số gấp bốn lần số ban đầu.Các cách giải: 1
  2. Bài 2Tìm tất cả số thực xx thỏa mãn 3−x−x+1>12\sqrt{\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}}>\dfrac12.Các cách giải: 1
  3. Bài 3Cho hình lập phương ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' có mặt trên ABCDABCD và mặt dưới A′B′C′D′A'B'C'D', với AA nằm ngay trên A′A' và tương tự. Điểm XX chuyển động đều quanh ABCDABCD, còn điểm YY chuyển động cùng tốc độ quanh B′C′CBB'C'CB. Chúng đồng thời xuất phát từ AA theo hướng đến BB và từ B′B' theo hướng đến C′C'. Tìm quỹ tích trung điểm của XYXY.Các cách giải: 1
  4. Bài 4Tìm tất cả nghiệm thực của cos⁡2x+cos⁡22x+cos⁡23x=1\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1.Các cách giải: 1
  5. Bài 5Cho ba điểm phân biệt A,B,CA,B,C trên đường tròn KK. Hãy dựng điểm DD trên KK sao cho có thể nội tiếp một đường tròn trong tứ giác lồi ABCDABCD.Các cách giải: 1
  6. Bài 6Xét một tam giác cân. Gọi RR là bán kính đường tròn ngoại tiếp và rr là bán kính đường tròn nội tiếp. Chứng minh khoảng cách dd giữa hai tâm của các đường tròn này bằng R(R−2r)\sqrt{R(R-2r)}.Các cách giải: 1
  7. Bài 7Tứ diện SABCSABC có tính chất sau: tồn tại năm mặt cầu, mỗi mặt cầu tiếp xúc với các cạnh SA,SB,SC,BC,CA,ABSA,SB,SC,BC,CA,AB hoặc phần kéo dài của chúng. (a) Chứng minh tứ diện SABCSABC là tứ diện đều. (b) Chứng minh ngược lại rằng với mọi tứ diện đều đều tồn tại năm mặt cầu như vậy.Các cách giải: 1